מהם מספרים מרוכבים?

המספרים המרוכבים נוצרו על מנת להגיע למצב שבו למשוואה X² + 1 = 0 יהיה פתרון. נגדיר את הסימן i, המקיים i² + 1 = 0, כלומר i מוגדר כשורש של 1-.

מספרים כמו 3i, 2i (שהוא השורש של 4-), ¹/₂i וכיו"ב, שהם כפולות של i נקראים מספרים מדומים.

הרכבה של מספר ממשי עם מספר מדומה על ידי סימן חיבור, תיתן מספר מרוכב. מספר זה יסומן באות Z. את המספרים המרוכבים ניתן להציג בשתי הצגות: אלגברית וגיאומטרית.

ההצגה האלגברית של המספר המרוכב היא: Z = a+bi, כאשר a ו-b הם מספרים ממשיים. לדוגמה: 2+4i, 19-21i, -1/3+1/4i.

התיאור הגיאומטרי: נשרטט מערכת צירים ונשתמש בציר האנכי - ציר ה-Y במערכת הצירים, לתיאור החלק המדומה של המספר המרוכב ובציר האופקי (ציר ה-X) לתיאור החלק הממשי.

פעולות במספרים מרוכבים:
כלל השוויון:
כלל החיבור:
כלל הכפל:

מספר צמוד:
מספר הצמוד ל-Z=a+bi הוא , ובצורה גיאומטרית, המספר הצמוד הוא שיקוף של Z בציר ה-X. תכונותיו של המספר הצמוד: מגדיר את הערך המוחלט של מספר מורכב (|Z|) כמרחק שלו מראשית הצירים כלומר , דהיינו יש להם אותו אורך.

הצגה קוטבית:
על פי ההצגה הגיאומטרית, Z יוגדר על ידי מרחקו מהראשית ועל ידי הזווית שיוצר הקטע המחבר את הנקודה המייצגת אותו לראשית עם הכיוון החיובי של ציר ה-X. על פי הגדרה זו: . נסמן את הקיצור cis כ- Cos+iSin ואז נקבל Z=rcis. נקשר בין שתי התוצאות:

חשוב לשים לב לסימניהם של x ו-y לפני קביעת ערכה של במעבר מהצגה קרטזית (x+yi) להצגה קוטבית (rcis ).

שבר שמכנהו מרוכב מקשה על החישובים ועל כן עלינו לפשט את השבר. פישוט בשבר מתבצע על ידי הכפל של המונה והמכנה במספר הצמוד למכנה, דבר שיתן מספר ממשי במכנה.

מכפלת מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית:
נעשה על פי שימוחש בנוסחאות טריגונומטריות. נקח את שני המספרים המרוכבים: Z₁=r₁cis ₁, Z₂=r₂cis ₂. על פי שימוש בנוסחאות טריגונומטריות נקבל:

מקרה פרטי של מכפלה הוא העלאה בחזקה ועל פי משפט דה מואבר, המקל מאוד על חישובי חזקות במספרים מרוכבים: , לדוגמה: .

מה קשור?

מהי טריגונומטריה?  איך פותרים משוואות ריבועיות?  מהם שברים?

 

 הוסף הערה חדשה    שנה את ההגדרות בנוגע להערות