מהם חוקי החזקות והשורשים?

כאשר אנו כופלים ביטוי מתמטי בעצמו מספר מסוים של פעמים, אנו אומרים שאנו מעלים את הביטוי בחזקה. למשל כפילת 5 בעצמו היא העלאת 5 בריבוע, כלומר: 5² = 5 $x$ 5 = 25. אנו יכולים לכפול כמה פעמים שאנו רוצים, כמו למשל: 2⁴ = 2 $x$ 2 $x$ 2 $x$ 2 = 16. כאשר אנו מעלים מספר שלילי בחזקה, מאחר וזו בעצם מכפלה של מספר שלילי, עלינו לבדוק את הסימן של המכפלה. כאמור, אם יש מספר זוגי של מספרים שליליים, המכפלה היא חיובית, אז לכן, מספר שלילי בחזקה זוגית נותן מספר חיובי. מספר שלילי בחזקה אי זוגית נותן מספר שלילי. יש לשים לב אם אנו מעלים מספר שלילי בחזקה, או שהמינוס בא לפני החזקה, כמו למשל 25-, ואז התוצאה היא שלילית (32-, ליתר דיוק). נגדיר בחזקה ab, ש-a הוא בסיס החזקה, ו-b הוא המעריך. חוקי החזקות הם כדלקמן:

aⁿ = a $x$ a $x$ a $x$ a $x$ a ... - זאת ההגדרה של החזקה

aⁿ $x$ a^m = a^{(n + m)} - בכפל של שתי חזקות בעלות בסיסים שווים (במקרה זה a) ניתן לחבר את המעריכי של שתי החזקות.

aⁿ : a^m = a^(n-m) - בחילוק של שתי חזקות בעלות בסיסים שווים, ניתן לחסר את שני המעריכים.

(aⁿ)^m = a^(nm) - בהעלאת חזקה בבחזקה אחרת, המעריך החדש שווה למכפלת שני המעריכים.

1ⁿ = 1 - אחד בחזרת כל מספר שווה לאחד.

a¹ = a - כל מספר בחזקת אחד נותן את אותו מספר.

0ⁿ = 0 (n $<>$ 0) - אפס בחזקת כל מספר חיובי (להזכירך: מספר השונה גם מאפס) שווה לאפס.

a⁰ = 1 - כל מספר בחזקת אפס שווה לאחד.

a^-n = 1/aⁿ - חזקה עם מעריך שלילי שווה לאחד חלקי החזקה עם אותו מעריך רק בסימן חיובי. כלומר 2^-2 שווה ל1/4.

(a $x$ b)ⁿ = aⁿ $x$ bⁿ - מכפלת מספרים המועלת בחזקה, שווה למכפלת המספרים, שכל אחד מהמספרים מועלה באותה חזקה. אך שים לב ש- (a + b)ⁿ אינו שווה ל- aⁿ + bⁿ.

שורש הוא פעולה מתמטית השואלת איזה מספר, אם נכפול אותו בעצמו יתן לנו מספר מסוים. במילים אחרות, שורש ריבועי של מספר יחזיר לנו את המספר a כך ש-a² שווה למספר. כך גם בחזקה שלישית - כך שa³ שווה למספר, חזקה רביעית וכן הלאה.

שים לב לכך שכאשר אין סימן לפני השורש בחזקה זוגית, הכוונה היא לשורש החיובי של המספר בלבד. כאשר מופיע לשורש מינוס, הכוונה לשורש השלילי. במילים אחרות, השורש הוא תמיד שורש של מספר אי שלילי, כלומר למספר חיובי או לאפס, במקרים של שורש ממעלה זוגית. במקרה של שורש ממעלה אי זוגית, כמו שורש ממעלה שלישית, יש פתרון לשורש של מספר שלילי, כמו למשל שורש שלישי של -8, שווה ל-2-.

חוקי השורשים שווים לחוקי החזקות מאחר והשורשים הם בעצם חזקות מהצורה 1/n, לדוגמה, שורש שני הוא המספר בחזקת 1/2 , שורש שלישי הוא חזקת 1/3 וכן הלאה. בסימון מתמטי: ⁿ $\/$ a = a^1/n. שים לב שכאשר אין מספר משמאל לשורש הכוונה היא לשורש שני. כללים נוספים של השורשים:

ⁿ $\/$ a $x$ ⁿ $\/$ b = n $\/$ a $x$ b
ⁿ $\/$ a : ⁿ $\/$ b = ⁿ $\/$ a/b
^{n m} $\/$ a= ^m $\/$ ⁿ $\/$ a
a^m/n = ⁿ $\/$ a^m.

מה קשור?

איך פותרים משוואות ריבועיות?
איך פותרים אי שיוויונים?

לא נמצאו הערות.