מהם המשפטים העיקריים בגאומטריה?

• מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות.
• במשולש כלשהו, מול זוויות שוות מוחות צלעות שוות.
• במשולש מול הצלע הגדולה מונחת הזווית הגדולה, ולהפך.
• במשולש ישר זווית, היתר הוא הצלע הגדולה ביותר.
• במשולש קהה זווית, הצלע מול הזווית הקהה היא הצלע הגדול במשולש.
• סכום שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית.
• זוויות צמודות משלימות ל-180 מעלות.
• זוויות קודקודיות שוות זו לזו.

• דרך נקודה הנמצאת מחוץ לישר, עובר רק ישר אחד המקביל לישר.
• אם נתון זוג אחד של זוויות מתאימות שוות, זה אומר שכל הזוויות המתאימות והמתחלפות שוות.
• נתונים שני ישרים הנחתכים על ידי ישר שלישי. אם קיים זוג אחד של זוויות מתאימות שוות, זוג של זוויות מתחלפות שוות או זוג אחד של זוויות צדדיות שסכומן 180 מעלות, אז הישרים הם מקבילים.
• אם ישר מקביל לאחד משני ישרים מקבילים , הוא מקביל גם לשני.
• אם ישר מאונך לאחד משני ישרים מקבילים, הוא מאונך גם לשני.

• במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות.
• במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש הוא גם הגובה וגם התיכון לבסיס; הגובה הוא גם חוצה זווית הראש וגם תיכון; והתיכון הוא גם גובה וגם חוצה זווית הראש.
• אם נתון משולש ובו התיכון לצלע הוא גם גובה, אז המשולש הוא משולש שווה שוקיים. אם נתון משולש ובו הגובה הוא גם חוצה זווית, אז המשולש הוא משולש שווה שוקיים. אם נתון משולש ובו חוצה הזווית הוא גם תיכון, אז המשולש הוא משולש שווה שוקיים.
• במשולש שווה שוקיים, הקטעים המחברים את אמצע הבסיס עם אמצעי השוקיים שווים זה לזה.
• במשולש שווה שוקיים, חוצי זוויות הבסיס שווים זה לזה.

• כל הזויות במשולש שווה צלעות שוות, והן בנות 60 מעלות כל אחת.
• משולש שווה צלעות הוא גם משולש שווה שוקיים, לכן משפטי משולש שווה שוקיים חלים עליו.

• במשולש ישר זווית, התיכון ליתר שווה למחיצתו.
• במשולש ישר זווית, צלע שמול זווית בת 30 מעלות שווה למחצית היתר.
• אם במשולש התיכון לצלע שווה למחיצתה, אז הזווית שמול הצלע היא בת 90 מעלות.
• אם במשולש ישר זווית אחת הצלעות שווה למחצית היתר, אז הזווית שמול אותה צלע היא בת 30 מעלות.

• זווית חיצונית למושלש גדולה מכל זווית פנימית שאינה צמודה לה.
• זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזויות שאינן צמודות לה.

• צלע, צלע, צלע - אם שני משולשים שווים בשלוש צלעותיהם אז הם חופפים.
• צלע, זווית, צלע - אם שני משולשים שווים בשתי צלעות ובזווית שביניהן, אז הם חופפים.
• זווית, זווית, צלע - אם שני משולשים שווים בצלע ובזויות משני צדדי הצלע, אז הם חופפים.
• צלע, צלע, זווית - אם שני משולשים שווים בשתי צלעות ובזוית מול הצלע הגדולה, אז הם חופפים. מסקנה: אם שני משולשים ישרי זווית שווים בניצב וביתר, אז הם חופפים.
• זווית, זווית, צלע - אם שני משולשים שווים בשתי זוויות ובצלע מול אחת הזוויות, אז הם חופפים.

• סכום הזויות במצולע קמור בעל N צלעות הוא: (2-N)x180.
• גודל הזווית במצולע משוכלל, שהוא מצולע שכל צלעותיו וזוויותיו שוות, הוא N/(2-N)x180.

• משפט הדלתון: האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש, מאונך ותיכון לאלכסון המשני.

• במקבילית סכום של שתי צלעות סמוכות הוא 180 מעלות.
• במקבילית הזויות הנגדיות שוות.
• במקבילית הצלעות הנגדיות שוות.
• במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.
• אם במרובע יש שני זוגות של זוויות נגדיות שוות, אז המרובע הוא מקבילית.
• אם במרובע יש שני זוגות של צלעות נגדיות שוות, אז המרובע הוא מקבילית.
• אם במרובע יש שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות, אז המרובע הוא מקבילית.
• אם במרובע יש זוג של צלעות נגדיות מקבילות ושוות, אז המרובע הוא מקבילית.
• אם אלכסוניו של מרובע חוצים זה את זה, אז המרובע הוא מקבילית.

• במלבן כל הזויות בנות 90 מעלות.
• האלכסונים במלבן שווים זה לזה.
• מקבילית עם זווית אחת ישרה היא מלבן.
• מקבילית עם אלכסונים שווים היא מלבן.
• מרובע שכל זוויותיו שוות הוא מלבן.
• מרובע ששלוש מזוויותיו בנות 90 מעלות הוא מלבן.
• מרובע שאלכסוניו שווים ונחצים הוא מלבן.

• למעוין כל תכונות המקבילית.
• האלכסונים במעוין מאונכים זה לזה וחוצים את זוויות המעוין.
• מרובע שכל צלעותיו שוות הוא מעוין.
• מקבילית שהאלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין.
• מקבילית שאחד האלכסונים חוצה את אחת הזויות היא מעוין.

• האלכסונים בריבוע חוצים זה את זה, שווים זה לזה, מאונכים זה לזה וחוצים את הזויות.
• מרובע שכל צלעותיו וזוויותיו שוות הוא ריבוע.
• מלבן בעל זוג צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע.
• מעוין עם זווית אחת ישרה הוא ריבוע.

• בטרפז שווה שוקיים, הזויות ליד אותם הבסיסים שוות.
• בטרפז שווה שוקיים, האלכסונים שווים.
• בטרפז שווה שוקיים, נקודת המפגש של האלכסונים יוצרת קטעים שווים היוצאים מאותו בסיס.

• קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
• קטע שחוצה צלע אחת ומקביל לשנייה, חוצה גם את השלישית.
• קטע המחבר שתי נקודות הנמצאות על שתי צלעות במשולש, מקביל וצלע השלישית ושווה למחציתה, הוא קטע אמצעים.

• קטע האמצעים מקביל לשני בסיסי הטרפז.
• קטע האמצעים שווה למחצית הסכום של בסיסי הטרפז.
• קטע בטרפז שחוצה שוק אחת ומקביל לבסיסים, חוצה גם את השוק השנייה, כלומר הוא קטע אמצעים.

• נקודת המפגש של שני תיכונים במשולש מחלקת כל תיכון לשני חלקים: חלק ראשון שהוא 2/3 מאורך התיכון והוא קרוב לקודקוד. חלק שני אורכו 1/3 מארוך התיכון והוא קרוב לצלע.

• כל נקודה שנמצאת על אנך האמצעי של קטע מרוחקת מרחקים שווים מקצות הקטע.

• כל נקודה על חוצה הזווית נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית.
• אם נקודה נמצאת במרחקים שווים משוקי זווית, אז היא נמצאת על חוצה הזווית.
• נקודת מפגש חוצי הזויות במשולש היא מרכז המעגל החסום במשולש.

• נקודת המפגש של הגבהים במשולש היא מרכז המעגל החוסם את המשולש.

• לזוויות מרכזיות שוות מתאימות קשתות שוות ומתאימים מיתרים שווים.
• למיתרים שווים מתאימות קשתות שוות ומתאימים זוויות מרכזיות שוות.
• לקשתות שוות מתאימים מיתרים שווים ומתאימות זוויות מרכזיות שוות.
• האנך האמצעי למיתר עובר במרכז המעגל.
• רדיוס שמאונך למיתר, חוצה אותו.
• רדיוס שחוצה מיתר, גם מאונך לו.
• האנך למיתר ממרכז המעגל חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה לו וחוצה את הקשת השייכת למיתר.
• במעגל, בין מיתרים מקבילים כלואות קשתות שוות ומיתרים שווים.
• מיתרים הכולאים בינהם קשתות שוות מקבילים.
• אם מיתר מחלק את המעגל לשתי קשתות שוות, אז מיתר זה הוא קוטר במעגל.

• ככל שהמיתר ארוך יותר הוא קרוב יותר למרכז המעגל.
• ככל שמרחקו של מיתר מהמרכז קצר יותר, המיתר ארוך יותר.
• מיתרים שווים נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל.
• אם שני מיתרים נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל, הם שווים זה לזה.

• זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.
• כל הזויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת, או על קשתות שוות, שוות זו לזו.
• זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל-90 מעלות.
• סכום שתי זוויות היקפיות הנשענות על שתי קשתות המשלימות למעגל, שווה ל-180 מעלות.

• במרובע חסום במעגל סכום כל זוויות מגדיות שווה ל-180 מעלות.
• אם במרובע סכום זוויות נגדיות הוא 180 מעלות, ניתן לחסום את המרובע במעגל.

• במרובע החוסם מעגל סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום זוג שני של צלעות נגדיות.
• אם במרובע סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות האחרות, אפשר לחסום בו מעגל.

• הרדיוס בנקודת ההשקה מאונך למשיק.
• אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים שני משיקים למעגל הם שווים זה לזה (מהנקודה ועד לנקודת ההשקה).
• הישר המחבר את מרכז המעגל עם נקודת מוצא המשיקים, חוצה את הזווית שבין המשיקים.
• הזווית שבין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני.

• שני ישרים מקבילים חותכים מהשוקיים של זווית קטעם פרופורציוניים. (משפט תלס)
• אם שני ישרים מקצים קטעים פרופורציוניים על השוקיים של זווית, אז הם מקבילים זה לזה.
• שני ישרים מקבילים החותכים שוקיים של זוויות יוצרים ארבעה קטעים פרופורציוניים על השוקיים, וגם החלק של השוק הקרוב לקודקוד הזווית מתייחס אל השוק כולה כמו המקביל הקרוב לקודקוד אל המקביל השני.
• שני ישרים מקבילים, שאחד מהם חותך את השוקיים של הזווית והשני חותך את המשכי השוקיים, יוצרים ארבעה קטעים פרופורציוניים על השוקיים ועל המשכי השוקיים של הזווית.
• חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני חלקים המתייחסים זה אל זה כיחס הצלעות הכולאות את הזווית.
• קטע המחבר את קודקוד של משולש עם הצלע שמולו ומחלק את הצלע לשני קטעים, המתייחסים זה אל זה כמו היחס שבין שתי הצלעות האחרות, חוצה את הזווית שליד אותו קודקוד.

• צלע, צלע, צלע - שני משולשים בעלי שלוש שצלעות פרופורציונית בהתאמה, דומים זה לזה.
• צלע, זווית, צלע - אם בשני משולשים שני זוגות של צלעות פרופורציוניות בהתאמה והזווית הכלואה בין שתי הצלעות שווה בשני המשולשים, המשולשים דומים זה לזה.
• זווית, זווית - שני המשולשים השווים בשתי זוויות שלהם בהתאמה דומים זה לזה.
• צלע, צלע, זווית - אם בשני משולשים, שתי צלעות פרופורציוניות בהתאמה והזווית מול הגדולה שבהן שווה בשני המשולשים, המשולשים דומים זה לזה.

• ההיקפים של משולשים דומים מתייחסים זה אל זה כמו הצלעות המתאימות.
• גבהים מתאימים, תיכונים מתאימים, חוצי זווית מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה אל זה כיחס הצלעות המתאימות.
• היחס בין השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע היחס בין צלעות מתאימות.

• שני מיתרים במעגל חותכים זה את זה כך שמכפלת הקטעים הנוצרים על מיתר אחד שווה למכפלת הקטעים על המיתר השני.
• אם שני חותכים למעגל יוצאים מנקודה אחת, מכפלת כל חותך בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני.
• אם בנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק.

• הגובה ליתר במשולש ישר זווית מחלק את המשולש לשני משולשים הדומים זה לזה ולמשולש הגדול.
• ריבוע הגובה ליתר במשולש ישר זווית שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר.
• ריבוע הניצב במשולש ישר זווית שווה למכפלת היתר בחלקו של היתר הקרוב לניצב.

מה קשור?

מהי טריגונומטריה?  איך מחשבים שטחים, היקפים ונפחים?  איך פותרים משוואות עם נעלם?  איך פותרים משוואות ריבועיות?

 

 הוסף הערה חדשה    שנה את ההגדרות בנוגע להערות