התחבר | הרשם עכשיו | מה זה Brain Kingdom?

יום שלישי, 6 בינואר 2009

אתה נמצא כאן: דף ראשי :: פיזיקה

ברוך הבא אורח, התחבר או הרשם עכשיו.

קישורים ממומנים:

מהם עקרונות תורת היחסות הפרטית?

בבסיס ההסבר שנתנה תורת היחסות הפרטית לתופעות שנידונו לעיל עומדים שני עקרונות יסוד שעליהם הכריז איינשטיין:

1. עקרון היחסות:
חוקי הפיסיקה אינם משתנים כאשר עוברים ממערכת ייחוס אינרציאלית אחת למערכת ייחוס אינרציאלית אחרת. במילים אחרות: אם תימצא בקרון רכבת אטום ומנותק לחלוטין מהעולם החיצון, לא יהיה שום ניסוי או מדידה פיסיקלית שתגיד לך האם הקרון נע במהירות קבועה בקו ישר או ניצב במנוחה.

2. אינווריאנטיות מהירות האור:
מהירות האור קבועה לכל צופה ולא משנה מה המהירות היחסית שלו ביחס לאור ולא משנה כיוון התנועה שלו ביחס לאור ולא משנה גם מהירות המקור המשגר את האור. כלומר: כולם רואים אותה מהירות קבועה שמסומנת באות c (מהירות האור בריק היא 300 אלף קילומטרים בשניה בקירוב).

באמצעות דרישות אלה הסביר איינשטיין כיצד להגדיר את המרחב והזמן, ובאמצעות סנכרון שעונים הגדיר מחדש את המושג של סימולטניות ("בו-זמניות"). מהניתוח שביצע איינשטיין עולה שהסימולטניות היא לא גודל שנשמר בין מערכות ייחוס אינרציאליות הנעות במהירויות שונות. כלומר: צופה נייח לא יסכים עם צופה נייד ששני אירועים שכל אחד מדד במערכת שלו התרחשות בו זמנית. מדרישות אלה ומעקרון הלוקליות גזר איינשטיין את טרנספורמציות לורנץ שהחליפו את טרנספורמציית גליליי ככלי הנכון לתרגם גדלים פיסיקליים במעבר בין מערכות ייחוס שונות.

הזמן על פי תורת היחסות:

מהו זמן ואיך מודדים אותו?
בשלב הראשון, ניגש איינשטיין לטפל בזמן וניתח מה הוא בדיוק ה"זמן" שאנו מודדים. ראשית, איינשטיין פתר את המקרה הפשוט שבו מודד הזמן נמצא באותו מקום בו קרה האירוע

"הרכבת הגיעה בשעה שבע"- כלומר, האירוע שבו הרכבת הגיעה לתחנה התרחש בו-זמנית במערכת הייחוס של התחנה יחד עם האירוע שבו השעון של המודד, הנמצא נייח בתחנה, הראה את השעה 7

בשלב השני בחן איינשטיין מה קורה אם האירועים אינם קורים באותו מקום? במקרה זה, יש להכין את מערכת המדידה מראש .
נניח שבדוגמה שלנו, מודד הזמן נמצא מחוץ לתחנה וכן נניח שיש ברשותו אמצעי להעברת מידע במהירות האור בין התחנה אליו. כדי למדוד מתי הגיעה הרכבת עליו להכין שני שעונים (אחד בתחנה ואחד אצלו) וכן למדוד את המרחק בין התחנה אליו (נניח שמרחק זה הוא L). כעת, כאשר הרכבת מגיעה לתחנה, השעון שבתחנה שולח סיגנל במהירות האור אל המודד. אם השעון בתחנה יראה 7 בעת הגעת הרכבת, השעון של המודד יראה $\ 7^{\underline{00}} + L/c$ . כדי לדעת מתי הגיעה הרכבת עליו לקזז משעונו את הזמן שלקח למידע להגיע. כך פתר איינשטיין את בעיית הזמן גם עבור אירועים שאינם קורים באותו מקום .

מהניתוח לעיל, עולה שכדי לקבל מדידה אחידה עבור צופים במרחקים שונים , בכל מקום יש לסנכרן את השעונים כך שהמחוג יקזז את הזמן שלוקח למידע להגיע (בדוגמה שלנו: המודד צריך לכוון את השעון שלו L/c זמן אחורה כדי שגם השעון שלו יראה שהרכבת הגיעה ב 7 לתחנה, כמו שהשעון בתחנה מראה). באופן תיאורטי אידיאלי, בכל מקום במרחב יש שעון מסונכרן כזה .

ברם, מסתבר שבעיית סנכרון השעונים איננה פשוטה כל כך. בשביל לסנכרן שני שעונים יש לשלוח קרן אור משעון A לשעון B, לתת לקרן לחזור ולמדוד את משך הזמן שלקח לה לחזור, באופן מתמטי - אם קרן האור יצאה ב t_a וחזרה בזמן t_b אזי $\ t_b - t_a = \frac{2 L}{c}$ כעת, זה מפתה לומר שהזמן שלוקח לאור לטייל מ A ל B הוא $\left( t_b - t_a \right) /2$ ( מטעמי סימטריה, אבל אין שום ערובה ניסיונית לכך שזה אכן המצב. למעשה, נוכל לקבוע שבכיוון אחד לקח לאור להגיע רק $\left( t_b - t_a \right) / 3$ זמן לעבור, ולא נוכל להפריך זאת בניסוי כי הזמן במקומות שונים מוגדר באמצעות הגודל שאותו אנו רוצים למדוד, ואי אפשר למדדו בלי הגדרה טובה של הזמן במקומות שונים. דבר זה קשה להבנה וקשור לתפיסה האקטואליסטית הקאנטיאנית שהיוותה השראה לאיינשטיין בעת ניסוח התיאוריה. ברם, בגלל עיקרון היחסות, בחר איינשטיין באפשרות הטבעית , $\Delta t = L/c = \left( t_b - t_a \right) /2$ , אך במאמרו הדגיש שבחירה זו היא "בחירה שרירותית" ומהווה בעצם "עניין של הגדרה ". בתגובה לניתוח העמוק והמסובך לעיל העיר הפיסיקאי היהודי הדגול ריצ'רד פיינמן בבדיחותא ש"איינשטיין בעצם גילה שאת הזמן מודדים עם שעון ". אחרי שהגדרנו את מושג הזמן בכל מקום במרחב באמצעות רשת אינסופית של מוטות קשיחים (למדידת מרחקים) שבכל מקום במרחב מונח שעון וכל השעונים מסונכרנים, הגיע הזמן לבחון כיצד תלוי קצב תקתוקו של השעון במהירות התנועה של מערכת הייחוס בה הוא נמצא .

שעון במערכת הנעה במהירות קבועה והתארכות הזמן:

על פי תורת היחסות , זמן אינו גודל מוחלט, אלא תלוי במערכת יחוס. כלומר, הזמן אצלי יעבור במהירות שונה מהזמן אצל מישהו שנע ביחס אלי. היחס בין הזמנים הוא אסימפטוטי למהירות האור (כלומר, ככל שמתקרבים למהירות האור, היחס שואף לאינסוף), ועל כן, עבור גוף הנע במהירות האור ביחס אליך, הזמן העובר הוא פשוט אפס (כלומר, לא עובר זמן) .
נניח ש $\ \Delta \tau$ הוא פרק הזמן בין שני תקתוקי שעון במערכת בה שני תקתוקי השעון קורים באותו מקום - "המערכת הנייחת" (מתוארת באיור הימני). נניח ש $\ \Delta T_r$ הוא פרק הזמן העוברים בין שני תקתוקים כאשר שני התקתוקים קרו במקומות שונים עקב תנועת מערכת הייחוס במהירות קבועה v יחס למערכת הנייחת, בניצב לכיוון התקדמות האור (מתוארת באיור השמאלי ) .

איור הממחיש את התארכות הזמן. המערכת באיור הימני נקראת "המערכת הנייחת" ולזמן הנמדד בה קוראים "הזמן העצמי". המערכת באיור השמאלי נעה במהירות קבועה v בניצב לכיוון התקדמות קרן האור.
איור הממחיש את התארכות הזמן.

המערכת באיור הימני נקראת "המערכת הנייחת" ולזמן הנמדד בה קוראים "הזמן העצמי". המערכת באיור השמאלי נעה במהירות קבועה v בניצב לכיוון התקדמות קרן האור . לפי תורת היחסות, הקשר שיתקיים ביניהם הוא :

$\Delta T_r = \frac{\Delta \tau}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}$
או
$\Delta \tau = \frac{\Delta T_r}{\gamma}, \gamma = \frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}$
כאשר $\ \tau$ הוא הזמן העצמי (הזמן במערכת יחוס בה שני האירועים מתרחשים באותו מקום, "המערכת הנייחת") ו -Tr הוא הזמן במערכת יחוס הנעה במהירות V ביחס אליה, כאשר C היא מהירות האור. הזמן העצמי הוא גודל אינווריאנטי בתורת היחסות. ניתן לראות כי כאשר $\ v \to c$ , אזי $\ \Delta T_r$ שואף לאינסוף. תופעה זו ידועה בשם "התארכות הזמן" או Time dilation. כלומר , ככל שאתה נע במהירות גבוהה יותר כך השעון שלך מתקתק לאט יותר , ובמהירויות השואפת ל c לשעון שלך ייקח זמן אינסופי להשלים תקתוק שני ולכן ידמה לך שהזמן עומד מלכת .
יש להעיר שבשעון הכוונה היא לכל מערכת פיסיקלית המשתנה בזמן (אם המערכת היא בעלת התנהגות מחזורית היא יכולה לשמש כשעון לכל צורך מעשי). גם הלב האנושי הפועם בקצב קבוע הוא סוג של שעון, ומאחר שגם פעילותו הגופנית והמנטלית של הצופה הנע ביחד עם המערכת מאטות ביחד עם השעון, הוא לא ירגיש בהאטת הזמן .
תוצאה מעניינת מהמסקנות לעיל היא פרדוקס התאומים שבו תאום אחד נשלח לחלל במהירות גבוהה מאוד וכאשר הוא חוזר לכדור הארץ הוא מגלה שאחיו הזדקן מאוד, בעוד הוא עדיין נותר צעיר. הסיבה לא-סימטריה בין שני התיאומים נעוצה בכך שאחד מהם שינה בפועל את מהירותו ( כאשר הוא הסתובב לחזור בחזרה אל עבר כדור הארץ) ובכך ביצע "קפיצה" בין שתי מערכות ייחוס אינרציאליות שונות ביחס לתאום שבכדור הארץ .

תורת האינווריאנטים:

בניגוד לדעה הרווחת, תורת היחסות לא קובעת שהכל יחסי אלא מנסה למצוא > אינווריאנטים של הטבע, כלומר: גדלים שלא משתנים תחת מעבר בין מערכת ייחוס אינרציאלית אחת למערכת ייחוס אינרציאלית אחרת. איינשטיין יצא מהדרישה שחוקי הפיסיקה הם אינווריאנטים כאלה. גדלים פיסיקליים שנשמרים תחת מעבר זה נקראים גם "אינווריאנטים לורנץ " כי הם נשמרים תחת טרנספורמציות לורנץ . בתורת היחסות מצא אלברט איינשטיין שני אינווריאנטים קינמטיים :
1) מהירות האור - תימדד כ c בכל מערכת ייחוס .
2) האינטרוול ) ריבוע הזמן העצמי)-
$\ ds^2 = c^2 (d \tau)^2 = c^2 dt^2 - (x^2 + y^2 + z^2 ) = (c \ dt)^2 - (d \vec{r} \cdot d \vec{r})$ ובפרט, גם הזמן העצמי הוא אינווראנטי לורנץ .

ניסוח מתמטי של תורת היחסות באמצעות מרחב-זמן של מינקובסקי:

בעזרתו של המתמטיקאי היהודי הרמן מינקובסקי ניסח איינשטיין את תורת היחסות באמצעות חשבון טנזורים במרחב היפרבולי של 4-וקטורים, הקרוי מרחב מינקובסקי.

הגדרות קינמטיות יסודיות
במרחב זה, ה 4-וקטור של מאורע פיסיקלי מוגדר להיות
$\ x^\mu = ( x^0 , x^1 , x^2, x^3 ) := (ct , x , y, z)$
4- וקטור זה מורכב מרכיב זמני ורכיב מרחבי . ה 4-וקטור מתאר את הזמן והמקום שבהם התרחש מאורע פיסיקלי הניתן למדידה. 4-וקטור זה נקרא "4-וקטור האירוע" או "4-וקטור המקום ".
המטריקה של מרחב מינקובסקי (המטריצה המגדילה את המכפלה הסקלרית במרחב) הוגדרה כמטריצה אלכסונית שאיברי האלכסון שלה הם :
$\ g = diag( 1, -1, -1, -1)$
לשורש המכפלה של וקטור בעצמו לפי המטריקה, קוראים ה " נורמה" של הוקטור (למרות שנורמה זו לא בהכרח אי-שלילית). נחשב את ריבוע הנורמה של 4-וקטור המקום :
$\ x^\mu g_{\mu , \nu} x^\nu = x^\mu x_\mu = (x^0)^2 - (x^1)^2 - (x^2)^2 - (x^3)^2 = c^2 t^2 - \vec{r} \cdot \vec r}$
וזה בדיוק האינטרוול של הוקטור x , שהוא אינווריאנטה בתורת היחסות . בניסוח זה , טרנספורמציות לורנץ שמעבירות בין מערכות ייחוס אינרציאליות (ע"י סיבוב או boost ), הן מטריצות השומרות על המטריקה תחת דמיון מטריצות .
מאחר שיש לנו 4-וקטור של מקום וזמן, נרצה להגדיר גם 4-וקטור מהירות. מאחר שהזמן תלוי במערכת הייחוס, הגדרת המהירות ע"י גזירה לפי זמן לא תהיה עקבית ואחידה. הפתרון הוא לגזור לפי הזמן העצמי - שהוא אינווריאנטי לורנץ - ואז הגדרת ה 4-מהירות תהיה עקבית. לכן מגדירים :
$\ u^\mu = \frac{d x^\mu}{d \tau} = \gamma \frac{d x^\mu}{d t} = \left( \gamma c \ , \ \gamma v_x \ , \ gamma v_y \ , \ \gamma v_z \right) = \gamma \left( c \ , \ \vec{v} \right)$ הנורמה של וקטור זה שווה ל c .

אנרגיה ותנע:

כדי לדון בדינמיקה של גופים נעים מגדירים את 4-וקטור התנע - אנרגיה :
$\ p^\mu = m_0 u^\mu = \left( \gamma m_0 c , \gamma m_0 \vec{v} \right)$
כאשר $\ m_0$ היא מסת המנוחה של הגוף. בהרבה ספרים נהוג להגדיר "מסה יחסותית" ע"י $\ m = \gamma m_0$ ובכך ל"בלוע" את פקטור לורנץ. המסה היחסותית איננה אינווריאנטית לורנץ, למעשה - ככל שגוף נע יותר מהר, כך המסה היחסותית שלו גדולה יותר. נביט באיבר הזמני של 4-וקטור התנע, לגודל $\ mc$ יש יחידות של אנרגיה חלקי מהירות ולכן מקובל לרשום אותו כ $mc = \frac{mc^2}{c} = \frac{ \gamma m_0 c^2 }{c}$
ואז
$\ p^\mu = \left( \frac{E}{c} , \vec{p_{rel}} \right) = \left( \frac{mc^2}{c} \ , \ m\vec{v} \right)$
ומתקיים שמסת המנוחה היא אינווריאנטית לורנץ, שכן
$\ p^\mu p_\mu = {m_0}^2 c^2$
כעת נתרשם מדוע $\ E = mc^2 = \gamma m_0 c^2$ . נפתח את האנרגיה כטור טיילור > במהירות v ונקבל ש
$\ E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = m_0 c^2 + \frac{1}{2} m_0 v^2 + \cdots$
נשים לב ש $\ T = \frac{1}{2} m_0 v^2$ היא האינרגיה הקינטית הקלאסית של הגוף. לכן, זיהה איינשטיין את תכולת האנרגיה של הגוף עם המסה היחסותית שלו .

יישומים ומסקנות של תורת היחסות:

תורת היחסות הפרטית חזתה דברים מדהימים :

התארכות הזמן: אם מישהו נע יחסית אלי במחצית מהירות האור אזי כאשר אני מסתכל על מחוגי השניות שלו אני אראה תזוזה של שנייה כל 1.15 שניות בשעון שלי . מי שנע לא חש בתופעה זו .
התקצרות האורך: אם חללית נעה ביחס אלי במחצית מהירות האור אזי כאשר אני מסתכל על אורכה הוא מתקצר ב13% לעומת האורך במנוחה, אבל מי שבחללית לא יראה שום שוני
עליית המסה: אם חללית נעה ביחס אלי המסה שלה תהיה כבדה יותר מאשר המסה שלה במנוחה, אבל מי שבחללית לא ימדוד שום שינוי. אין זה אומר שכמות החומר של החללית השתנתה, אלא שתכולת האנרגיה שלה גדלה .
יחסיות הבו זמניות: צופה א' רואה שני ארועים רחוקים זה מזה מתרחשים סימולטנית, צופה ב' הנע ביחס לצופה א' יראה אותם מתרחשים בזמנים שונים .

כל התופעות המדהימות והבלתי צפויות הללו אושרו מאוחר יותר בניסויים . ברוב התופעות הללו אין אנו חוזים בחיי היום-יום כי השפעתן ניכרת רק לגבי גופים הנעים במהירויות גדולות (מהירויות של בערך חמישית ממהירות האור ומעלה). עבור מהירויות נמוכות, השפעת התופעות הללו זניחה ואי-אפשר למדדה ללא אמצעים מדויקים ביותר .

דבר נוסף שחידשה התורה הוא שקילות המסה והאנרגיה - לכל גוף יש אנרגיה אשר אינה קינטית או פוטנציאלית והיא יחסית למסה שלו, על-פי המשוואה המפורסמת E=mc². מכאן שכל גוף יכול להיות מומר באנרגיה שוות ערך למסתו - מה שמהווה את היסוד התיאורטי לפיתוח פצצת אטום בפרט ואנרגיה גרעינית בכלל. ניצול מלא של שקילות זו מתרחש כאשר חומר ואנטי-חומר מתנגשים, אז הם מתאיינים - הופכים לאנרגיה ללא שארית ממהותם המקורית. לעובדה זו יש יישום חשוב מאוד בפיסיקה של חלקיקים אלמנטריים : האצת חלקיקי יסוד כמו פרוטון או אלקטרון למהירויות אדירות ( של יותר מ 80% ממהירות האור) ואז הטחתו בחלקיק אחר תביא - בגלל העקרון של E=mc² ליצירת הרבה חלקיקים חדשים ולפיזורם בהתאם לחוק שימור התנע . כך אפשר ליצור ולחקור חלקיקים אלמנטריים. זהו העיקרון שעומד מאחורי מאיץ חלקיקים .

לתורת היחסות הפרטית לא היו הרבה יישומים מעשיים ישירים. הסיבה לכך היא שתורת היחסות הפרטית היא תיאוריה לשם התיאוריה, ולצורך כל יישום מעשי משתמשים בתורת היחסות הכללית, שכן את השפעת הגרביטציה אי-אפשר להזניח, ואילו יחסות פרטית מטפלת רק במערכות אינרציאליות ללא תאוצה .

ברם, לתורת היחסות הפרטית יש חשיבות תיאורטית מהמעלה הראשונה וחייבים להתחשב בה כאשר רוצים לפתח תיאוריה המתארת תופעות אלמנטריות הן בסקלה קוונטית והן בסקלה קוסמית. כדי לקבל תיאור נכון של תופעות קוונטיות יש להשתמש במכניקת קוונטים הבנויה על יסוד היחסות הפרטית. מכניקה קוונטית יחסותית פותחה ע"י הפיסיקאי פול דיראק ונהייתה הבסיס המודל הסטנדרטי
חשיבותה של תורת היחסות הפרטית היא בפתרון הסתירות של פיסיקת המאה ה 19 ובהיותה בסיס מחשבתי ופילוסופי ליחסות הכללית.

מאמר זה מכיל קטעים מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית.לפיכך, מאמר זה נמצא תחת הרשיון החופשי GNU Free Documentation License
לפרטים נוספים, ראה את הצהרת זכויות היוצרים

מה קשור?

מהי תורת היחסות?
מהי תורת הקוונטים?
מהי הפיזיקה של החלקיקים?
מהי תרמודינמיקה?
חוקי פיזיקה

לא נמצאו הערות.